Prozentrechnung (Basics)

Was heißt „Prozent“?

„Prozent“ kommt von „pro centrum“, was soviel wie „Teil von Hundert“ heißt.

Mit Prozent (%) wird also angegeben wie viel Teile von 100 etwas hat, oder aus wie vielen Teilen von Hundert etwas besteht.

Beispielaufgabe

Hat man also z.B. einen Jahrgang mit 100 Schülern und 60% dieses Jahrgangs haben z.B. blaue Augen, dann wären das genau 60 Schüler, da sich die Angabe Prozent(%) ja auf die Anzahl (der blauäugigen Schüler) von der Gesamtmenge (100 Schüler) bezieht. Dabei entspricht die Gesamtmenge immer 100%, da „Prozent“ ja „Teil von Hundert“ bedeutet.

Wären es jetzt z.B. nur 50 Schüler, dann wären diese 50 Schüler in diesem Fall die 100%. 25 Schüler entsprächen 50%, und so weiter. Um jetzt herauszufinden wie viel 60% von 50 Schülern ist, teilt man die 50 einfach durch 100. Dann hat man herausgefunden, wie viel Schüler einem Prozent entsprächen, und da man ja auf die 60% kommen will, nimmt man das errechnete Ergebnis und multipliziert es mit 60.

Das sähe dann so aus:

50 Schüler entsprechen 100%

50:100 = 0,5                 //0,5 Schüler entsprechen einem Prozent. Okay zugegeben, das Beispiel mit halben Schülern ist ziemlich doof xD

0,5*60=30                    //60% von 50 Schülern sind 30 Schüler

Anstelle von Schülern kann man natürlich Prozentsätze von allem Möglichen ausrechnen.

Bausteine der Prozentrechnung

Die Gesamtmenge, auf die die Prozentangabe bezogen ist (z.B. 50% von 60 Äpfeln, 76% von 300 Buntstiften, 34% von 5g Alkohol), wird übrigens als „Grundwert“ bezeichnet.

Der Anteil der Gesamtmenge, also der Wert, der oben ausgerechnet wurde, der tatsächliche Wert, der der Prozentangabe entspricht, die gesucht wird

(Bsp. 50% von 100 = 50,

30% von 77 = 23,1,

66% von 888 = 586,08),

wird als „Prozentwert“ bezeichnet, und die Prozentangabe, also die „60%“ oder „3,7%“ wird „Prozentsatz“ genannt.

Welche zwei Möglichkeiten gibt es eine Prozentrechenaufgabe zu lösen?

Dreisatz oder Verhältnisgleichung

Beispielaufgabe_Prozentwert wird gesucht 

Ein gebrauchtes Auto kostet auf irgendeinem Gebrauchtwagenportal 430€. Glücklicherweise findest du es auf einem anderen Portal noch einmal um 8% billiger. Wie viel kostet das Auto also dort?

Die Gesamtmenge (Grundwert), auf die sich die Prozentangabe bezieht, ist gegeben: 430€. Die Gesamtmenge entspricht, wie immer bei %, 100%.

Der Prozentsatz ist auch gegeben: 8%.

430 wird also durch 100 geteilt um herauszufinden wie viel Euro Einem % entsprechen.

430:100 = 4,3

Das Ergebnis wird mit 8 multipliziert, da herausgefunden werden soll, wie viel Euro 8% von 430 Euro sind.

4,3*8=34,4

Das Auto auf dem anderen Portal ist also um34,4€ billiger und kostet auf dem anderen Portal daher nur 430€-34.4€=395,6€.

Beispielaufgabe_Prozentsatz wird gesucht

In einer Klasse sind 32 Schülern, normalerweise. An diesem einen Tag sind 7 Schüler krank, wahrscheinlich weil eine Klausur geschrieben wird. Die Frage ist jetzt, wie viel Prozent der Schüler krank sind.

Die Ausgangsmenge, also die Gesamtmenge (Grundwert), ist wieder gegeben: 32.

Der Prozentsatz wird dieses Mal gesucht.

Dafür ist der Prozentwert gegeben, also der Wert, der dem Prozentsatz im Bezug auf den Grundwert entspricht.

Der Prozentsatz bezieht sich auf die 100 (100%).

Man schreibt also wieder, dass 32 Schüler 100% entsprechen.

Dieses Mal rechnet man aber nicht 32:100, da man ja keinen Prozentsatz hat um ihn dann zu multiplizieren. Man hätte mit der Information, dass 32:100=0,32 nichts anzufangen.

Vielmehr teilt man die 100:32, um herauszufinden wie viel % einem einzelnen Schüler entsprechen.

Also: 100:32=3,125          //Ein Schüler entspricht also 3,125%.

Und dieses Ergebnis nimmt man, wie gehabt, und multipliziert es mit der anderen gegebenen Zahl, dem Prozentwert, in diesem Fall die „7“.

3,125*7=21,875

Wenn also von 7 Schülern von insgesamt 32 Schülern die Rede ist, dann ist die Rede von genau 21,875%.

Wenn man will, kann man ja jetzt die Probe machen und in die andere Richtung zurückrechnen. 32:100=0,32 und 0,32*21,875=7. Taddaa

Beispielaufgabe_Grundwert wird gesucht

Du kaufst irgendwas ein. Netterweise bist du der 100. Kunde an der Kasse und bekommst deinen Einkauf daher 12% billiger. Du musst nur 45,7€ bezahlen. Du freust dich. Später fragst du dich, wie viel du denn eigentlich sonst hättest bezahlen müssen. Der Kassenzettel ist grad nicht aufzufinden.

Der Prozentwert (wie viel sind 12% in Euro) ist nicht gegeben. Der Grundwert (Ausgangsmenge), mit dem man leicht den Prozentwert berechnen könnte (s. oben), ist auch nicht gegeben.

Zwar ist nicht die Gesamtmenge (Ausgangsmenge) gegeben, die 100% entspricht, aber dafür ist eine andere Menge gegeben: 45,7€.

Da man von der ursprünglichen Menge 12% abgezogen hat um auf die Menge (45,7) zu kommen, die du an der Kasse tatsächlich bezahlt hast, entspricht diese Menge logischerweise 100-12=88, also 88%.

Wenn wir jetzt die 45,7 durch 88 teilen erhalten wir wieder den Euro-Wert, der Einem % entspricht.

Also: 45,7:88=457/880          //Da mit dieser Zahl weitergerechnet werden soll, ist es besser sie im Bruch stehen zu lassen, da das Ergebnis sonst ggf. verfälscht würde.

Die 457/880 jetzt mit 12 zu multiplizieren ergibt den gesuchten Euro-Wert, der 12% entspricht.

457/880*12=1371/220 ist ungefähr 6,23           //auf zwei Stellen runden, da es ja nur bis min. 1 Cent geht…

Der Einkauf wäre also ursprünglich um etwa 6,23€ teurer gewesen, also 45,7+6,23€=51,93€.

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